四元数知识总结

项目中遇到的四元数常见用法，持续更新……

1. 四元数与向量相乘

结论：任意向量 $\mathbf{v}$ 沿着以单位向量定义的旋转轴 $\mathbf{u}$ 旋转 $\theta$ 度之后的 $\mathbf{v'}$ 可以使用四元数乘法获得。令 $v=[0,\mathbf{v}], q=[\cos(\frac{1}{2}\theta), \sin(\frac{1}{2}\theta)\mathbf{u}]$ ，那么：

$v'=qvq^*=qvq^{-1}$

换句话说，如果有 $q=[\cos(\frac{1}{2}\theta), \sin(\frac{1}{2}\theta)\mathbf{u}]$ ，那么 $v'=qvq^*$ 可以将 $\mathbf{v}$ 沿着 $\mathbf{u}$ 旋转。另外，因为所有的四元数的实部都是一个角度的余弦，假设有一个单位四元数 $q=[a,\mathbf{b}]$ ，如果想要提取对应的旋转的角度，那么我们可以直接得到：